如你所见幸运快艇捕鱼，这是本专栏的第七十七篇著作。

本文邻接了Gale and Shapley(1962)的草创性讨论，对匹配机制伸开了进一步揣测，迥殊矜恤了当每个东谈主的匹配偏好属于私东谈主信息时，东谈主们是否舒适投降Gale-Shapley匹配机制的问题——在Gale and Shapley的著作中，通盘东谈主的偏好都是已知的，于是咱们无须斟酌东谈主们的动机问题。

如果东谈主们老是舒适投降这个匹配机制（确乎清晰偏好是一个占优政策），那么G-S机制无疑是一个（经济学真谛真谛上）完竣的匹配机制。缺憾的是，任何匹配机制都无法同期高慢踏实性与全都的防政策性(strategy-proof)（参见定理3讲解给出的反例）。尽管如斯，G-S机制的法例使得匹配的某一方老是舒适确乎清晰偏好的。因此，如果另一方的偏好比较容易揣测（举例学校对学生的偏好），那么G-S机制依然有着进击价值。

除此除外，本文还对G-S机制的遵循问题得到了进一步的论断：与任何（不管是否踏实）匹配斥逐比较，G-S机制终了的匹配斥逐对于某一方老是弱帕累托最优的。

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The Economics of Matching: Stability and Incentives

Alvin E. Roth

(1982)

节录：本文从博弈论的角度斟酌了匹配问题与机制(procedure)，其中匹配两边不错有一东谈主或多东谈主，而且通盘东谈主都对最终的匹配斥逐有偏好。本文的中枢问题是，怎样假想匹配机制，不错使通盘东谈主舒适确乎清晰我方的偏好，而且使终末的匹配斥逐是踏实的。

本文提议了两个基本斥逐。其一，任何匹配机制都无法既能产生踏实的斥逐，又能让通盘东谈主有动机确乎清晰我方的偏好，尽管有一些匹配机制不错终了二者之一。其二，存在一些匹配斥逐不错产生踏实的斥逐，而且总能让固定的一部分东谈主确乎清晰我方的偏好。

本文的贪图是探索匹配问题与机制所共同蕴含的经济结构。这里所谓的“匹配问题”，指的是任性将一群东谈主（包括一东谈主或多东谈主）与另一群东谈主匹配起来，而且通盘东谈主都对最终的匹配斥逐有偏好。因此，匹配问题的现实例子包括学生与磨真金不怕火机构、开通员与队列、收养孩子与养父母、男东谈主与女东谈主（婚配、混双组队、在线聚会等）、公事员与公事职位、著作作家（通过他们的著作）与学术期刊。这些问题的要点都是匹配问题。

这里所谓的“匹配机制”指的是终了匹配的轨制安排。这个轨制安排不错是全都去中心化的机制，即每个东谈主都顺利与对方进行协商（就像现代西方社会的婚配一样），也不错是全都中心化的机制，即每个东谈主答复我方对匹配斥逐的偏好，然后由特定的算法来完成匹配（就像好意思国医学生在完成学业后，由病院接收一样）。本文的中枢问题是，怎样假想匹配机制，不错使通盘东谈主舒适确乎清晰我方的偏好，而且终了踏实的匹配斥逐。

本文得到了两个基本斥逐。第一个斥逐是，不存在不错终了踏实斥逐、同期让通盘玩家都确乎清晰我方偏好的匹配机制，尽管有一些匹配机制不错终了二者之一。第二个斥逐是，存在一个不错终了踏实斥逐，且总能让一部分东谈主舒适确乎清晰我方偏好的匹配机制。也即是说，咱们不错找到一个匹配机制，使得它终了的斥逐是踏实的，而且被匹配的其中一方莫得动机伪报我方的偏好。比如说，在个东谈主与机构之间的匹配问题中，存在踏实的匹配机制，且每个东谈主都舒适确乎清晰我方的偏好。本文揣测了为什么这是一个好的性质。

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第一个论断与一系列不可能定理的念念想十分相似，这些不可能定理是东谈主们在相对不受限的限制内，试图寻找非独裁的社会选拔机制时发现的论断(Gibbard, 1973; Satterthwaite, 1975)。第二个论断述明，咱们利用匹配问题对应的结构，有可能将伪报偏好问题适度在一部分参与者之内。这两个论断使得咱们不错对能够最小化伪报偏好动机的“最优的”匹配机制下一些论断。

伪报问题不仅得到表面矜恤，而且也有现实真谛真谛。比如说，在50年代初，伪报动机带来的问题促使东谈主们全都修改了国度实习与入院医生匹配狡计(NIRMP)的匹配机制；这个狡计负责大部分医学毕业生与病院之间的匹配。我狡计改日写一篇著作揣测NIRMP的机制。

下一节先容了匹配问题的一个看重模子。第三节总结了这类问题的踏实斥逐集的结构，其中主要内容来自Gale and Shapley(1962)。第四至六节分析了匹配机制的动机性质。第七节是论断。

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咱们最初先容一个特定的匹配问题模子，然后再将它引申到一般问题。最简便的匹配问题是“婚配问题”，即有两组东谈主和（男东谈主和女东谈主），中的每个男东谈主都有一个界说在上、高慢完备性与传递性的严格偏好关系。在不引起污染的情况下，咱们随机将记为。因此，“认为比更好”就不错记为或。近似地，中的每个女东谈主也有一个界说在上的偏好。咱们将通盘东谈主的偏好记为维向量，称之为“偏好组合”。

一个（一家一计制）婚配问题的斥逐即是男女之间的一双一匹配，即一个可逆函数。一个斥逐也不错记为

其中是与男东谈主成婚的女东谈主，而是与女东谈主成婚的男东谈主。

一个匹配斥逐是“踏实的”，若不存在一双男女鄙人莫得相互成婚，但认为对方比我方的伴侣更好。也即是说，是踏实的，若不存在男东谈主与女东谈主，使得

若某一双和都高慢条目(1)与(2)，则对于和是“不踏实的”。这个界说的着手十分确认，而且咱们很容易讲解，踏实斥逐的集结就等于合营博弈的核——在这个博弈中，任性一双男女只需两边开心就不错成婚（而且每个东谈主对斥逐的偏好只包括ta对异性的偏好）。

婚配问题有三个方面与一般的匹配问题不同。最初，在婚配问题中，每个东谈主只可与一个东谈主成婚，但在一般的匹配问题中，每个个体能匹配的个体数目大概不十分，也即是说每个个体都有一个“配额”，而且匹配斥逐将是从每个个体映射到与它匹配的通盘成员的函数。不外对咱们来说，这个区别不会带来什么问题，因为咱们的斥逐不错顺利期骗到一般情况。其次，在婚配问题中男女数目十分，而且不可能有东谈主未被匹配，但在一般的匹配问题中，某一种个体的数目可能过多，导致某个匹配斥逐会使某个个体未被匹配。为了贬责这个问题，咱们不错加入一个编造的“哑”个体，让它匹配终末通盘未被匹配的成员。终末，婚配问题与一般的匹配问题的区别在于咱们撤消了无各别偏好的情况，假定通盘偏好都是严格的。如果咱们松开这一假定，某些斥逐会变得相等复杂。于是，咱们这里只斟酌严格偏好。

因此，咱们不错用婚配问题来代表具有严格偏好的一般匹配问题。需要讲解的是，本文接下来展示的斥逐的真谛真谛不仅在于婚配问题，因为最常见的匹配问题是个东谈主与机构的匹配、且每个机构的配额大于1。接下来的斥逐不错葫芦依样地应用于这些情形。

本节总结了对于踏实斥逐的两个惊东谈主事实，它们的独创者是Gale and Shapley(1962)。其一，即使是一般的匹配问题，踏实斥逐的集结也一定黑白空的，也即是说，不管玩家的偏好是什么，都至少存在一个踏实的斥逐。其二，对于匹配两边的其中任一方，都存在一个踏实的斥逐，使得这一方的每个东谈主都认为该斥逐比其他通盘踏实斥逐都好。

凭据上一节的揣测，咱们只需要斟酌婚配问题。为了便捷，咱们称集结和分别为“男东谈主们”与“女东谈主们”。

定理1：踏实斥逐的集结一定黑白空的。

讲解：凭据Gale and Shapley(1962)给出的匹配机制，不管东谈主们的偏好如何，这个机制总能终了一个踏实的斥逐。匹配机制如下：

第一轮：(a)每个男东谈主对我方最可爱的女东谈主求婚；(b)每个女东谈主将向我方求婚的男东谈主中最可爱的那一个放入待定位，并遣散剩余通盘东谈主。

...

第轮：(a)每个在上一轮被遣散的男东谈主，在通盘还莫得遣散我方（也即是还莫得向她求婚）的女东谈主中，向最可爱的女东谈主求婚；(b)每个女东谈主在通盘向我方求过婚（包括在上一轮放入待定区）的男东谈主中，将我方最可爱的那一个放入待定位，并遣散剩余通盘东谈主。

直到每个女东谈主都被求过一次婚时（此时每个女东谈主的待定位都有一个男东谈主），这个匹配机制完成匹配。

由于东谈主数是有限的，这个机制只需有限轮就能完成。最终终了的斥逐是踏实的幸运快艇捕鱼，因为对于每个男东谈主来说，通盘比我方的伴侣更好的女东谈主都遣散了他，因此这些女东谈主都认为我方的伴侣比他更好。证毕。

当通盘东谈主的偏好组合为时，这个求婚机制的具体终了值记为。因此，包括了任性第轮被求婚的女东谈主、以及被遣散的男东谈主。当通盘东谈主的偏好组合为时，这个机制终了的斥逐记为。Gale and Shapley还讲解了如下斥逐。

定理2：存在一个被每个男东谈主都（相对于其他任性踏实的斥逐）弱偏好的踏实斥逐；相通也存在一个被每个女东谈主都弱偏好的踏实斥逐。

讲解：咱们讲解踏实的斥逐被每个男东谈主都（相对于其他任性踏实的斥逐）弱偏好，也即是说，在其他任性踏实的斥逐下，每个男东谈主的伴侣要么不如下的伴侣、要么照旧归并个东谈主。这个匹配问题是对称的，因此如果被男东谈主弱偏好的踏实斥逐得证，那么咱们只需在机制中对调处的变装，就能得到被每个女东谈主都弱偏好的踏实斥逐。

对于每个男东谈主，称一个女东谈主对他是“可能的”，若存在一个踏实的匹配斥逐，使得。假定在机制下，到第轮为止时，还莫得一个男东谈主被一个可能的女东谈主遣散，而在第轮，被遣散。这时，咱们只需讲解对于是“不可能的”，然后由归纳法可知，莫得男东谈主会（在的任何一轮）被一个可能的女东谈主遣散，从而得证。

令为在第轮莫得遣散的男东谈主，于是认为优于，而认为优于任何一个还莫得遣散我方的女东谈主。由归纳假定可知，这意味着认为比任何一个可能的女东谈主都更好。于是，任何使得和成婚、而和一个可能的女东谈主成婚的斥逐都是不踏实的。因此，对于来说是不可能的，得证。

那么周放为什么要拒绝宋凛呢？剧中给出的解释模糊不清。

到此为止，咱们揣测了Gale and Shapley(1962)提议的叠加求婚机制，从而创造性地讲解了踏实斥逐的关系命题。鄙人一节，咱们将斟酌具体实施某些匹配机制的可能性、以及评估某些机制的斥逐的问题。

由于每个东谈主都知谈我方的偏好，于是任何利用东谈主们偏好的匹配机制都不错拆分为两部分：一部分是赢得东谈主们的偏好、另一部分是将赢得的偏好加总未一个斥逐。本节分析的问题是，是否有匹配机制不错让每个东谈主都有动机确乎清晰我方的偏好。如果一个机制无法让通盘东谈主都有动机确乎清晰我方的偏好，那么即使随后的加总机制按照真确偏好所产生的斥逐高慢一些性质，但是执行变成的斥逐也可能无法高慢这些性质。

无法带来踏实斥逐的匹配机制存在动机问题，因为这个机制使得至少一双东谈主有动机无视匹配斥逐，而是主动终了一个新的斥逐。虽然，咱们大概能将就通盘东谈主接纳匹配斥逐。比如说，一些高中体育生在与大学进行匹配时需要签下“意愿书”，从而幸免体育生在被录取后与其他学校擅自谈判。（一些体育的事业开通员和队列的揣测愈加固定，开通员不行与其他队列擅自谈判。）然而，如果将就不可行，那么咱们就但愿匹配机制能终了踏实的斥逐。对于任性偏好组合都能作念到这少量的匹配机制，称作“踏实的匹配机制”。

在不竭揣测之前，让咱们先讲解一下，“一个机制能让东谈主们舒适确乎清晰我方的偏好”是什么真谛。在给定了加总偏好的机制后，匹配问题就变成了东谈主们之间的一个非合营博弈，东谈主们的收益取决于匹配斥逐，而东谈主们的政策是清晰怎样的偏好。咱们界说，一个机制能让通盘东谈主都有动机确乎清晰我方的偏好，若在这个非合营博弈中，对于每个东谈主来说，确乎清晰我方的偏好都是一个占优政策。于是在这个机制中，不管其他东谈主清晰什么偏好，每个东谈主都无法从伪报偏好中严格获益、而且有可能受损。

咱们得到的斥逐如下：对于一般的匹配问题来说，不存在一个踏实的匹配机制，使得通盘东谈主都有动机确乎清晰我方的偏好。

定理3：对于一般的匹配问题来说，不存在踏实的匹配机制，使得确乎清晰偏好是通盘东谈主的占优政策。

讲解：咱们只需讲解，存在一个匹配问题，使得在职何踏实的匹配机制下，确乎清晰偏好都不是一个占优政策。令两组东谈主分别为.令为一个任性的匹配机制；当东谈主们清晰的偏好组合为时，这个机制从（对于偏好组合）踏实斥逐的集结中选拔一个斥逐。假定东谈主们的偏好组合

如下：

于是踏实斥逐的集结为

也即是说，这个偏好组合恰有两个踏实的匹配斥逐：让与配对、与配对、与配对的斥逐、以及让与配对、与配对、与配对的斥逐。其中，男东谈主更偏好、而女东谈主更偏好（不外与对于两个斥逐是无各别的）。由于是一个踏实的匹配机制，要么是、要么是。

底下，咱们让伪报我方的偏好为，它等于

令

为新的偏好组合。此时斥逐是这个偏好组合下独一的踏实斥逐，即。由于是一个踏实的匹配机制，。

近似地，让伪报我方的偏好为，它等于

将中的替换为，得到的新的偏好组合记为。此时斥逐是这个偏好组合下独一的踏实斥逐，即，故。

因此，如果一运转，那么就有动机伪报我方的偏好为，而不是确乎清晰偏好，从而使匹配斥逐从变为（并将她的伴侣从变为）。如果，那么就有动机伪报我方的偏好为，从而使匹配斥逐从变为。由于是一个任性的踏实匹配机制，得证。

为了知道定理3中踏实性的作用，留心到存在有用率的匹配机制，即老是终了帕累托最优（但不一定踏实）的斥逐、于是莫得东谈主有伪报偏好的动机。

定理4：存在有用率的匹配机制，使得对于每个东谈主来说，确乎清晰偏好都是一个占优政策。

讲解：斟酌如下的机制：给定东谈主们答复的偏好组合，它产生的斥逐，使得是最可爱的伴侣、是在集结中最可爱的伴侣，其中。也即是说，这个机制先让与他（宣称）的第一选拔配对、然后与剩余的中的第一选拔配对、依此类推。确认，确乎清晰偏好是每个男东谈主的占优政策、亦然每个女东谈主的占优政策，因为她们的偏好对匹配斥逐毫无影响（这有点像橄榄球选秀）。尽管这个斥逐是不踏实的，但它对于偏好组合老是帕累托最优的，因为改造这个斥逐总会让某些男东谈主受损。证毕。

因此，有一些匹配机制总能终了踏实的斥逐、也有一些有用率的匹配机制，而且确乎清晰偏好是每个东谈主的占优政策，但是不存在同期高慢这些条目的匹配机制。然而，咱们有可能找到一些踏实的匹配机制，而且能让匹配两边的一方莫得伪报动机。具体地，咱们将讲解如下论断，并利用定理1识别对于某一方的独一的最优踏实斥逐，即这些东谈主认为该斥逐至少与其他踏实斥一一样好。

定理5：在总能终了对于某一方（或）最优的踏实斥逐的匹配机制中，确乎清晰偏好老是这一方通盘东谈主的占优政策。

推论1：在总能终了对于某一方最优的踏实斥逐的匹配机制中，另一方的通盘东谈主都莫得伪报我方的第一选拔的动机。

请留心，这两个论断指的都是产生特定斥逐的“阿谁”匹配机制。确认有好多机制都能终了归并个匹配斥逐，但从动机的角度看，这些机制都是等价的，因此不错视为归并个机制。定理5还标明，尽管一个东谈主不错通过伪报偏好来改造踏实斥逐集，但没东谈主能够通过这种作念法，使得新的踏实斥逐集内对他最佳的斥逐、比确乎清晰偏好对应的踏实斥逐集内对他最佳的斥逐还要好。下一节是这两个论断的讲解，它们比之前的论断讲解复杂一些。第六节揣测了讲解流程所激发的、对于踏实斥逐集的结构的进一步论断。

本节讲解了定理1讲解中提到的叠加求婚机制高慢定理5与推论1的要求。凭据第二节的揣测，咱们只需斟酌婚配问题，就不错讲解严格偏好的一般匹配问题。因此，本节提到的匹配两边分别是和，通盘东谈主的真确偏好由任性的偏好组合给出，而是当通盘东谈主都确乎清晰偏好时，叠加求婚机制终了的匹配斥逐。

为了讲解定理5，咱们讲解确乎清晰偏好是中每个男东谈主的占优政策。由于（真确）偏好组合是任性的，咱们只需讲解，若另外一个偏好组合与的区别只是是将的偏好从改为，那么男东谈主并不会认为新斥逐比原本的斥逐严格更好。也即是说，咱们只需讲解不存在“顺利的”偏好伪报——咱们称的伪报是“顺利的”，若。也即是说，伪报是“顺利的”，若（按照我方的真确偏好）认为他伪报后的伴侣比确乎清晰偏好时的伴侣更好（本节历久用示意伪报后的匹配斥逐）。

咱们最初讲解，咱们只需斟酌一部分简便的伪报形状；如果存在顺利的伪报，那么就存在一种顺利的简便伪报：具体来说，若示意一个任性的伪报偏好，那么它对应着一个等价的、简便的伪报偏好，使得对于通盘缔造。也即是说，是认为最佳的偏好关系。咱们之是以认为与“等价”，是因为咱们得到了如下引理：不管伪报的是照旧，他终末匹配的伴侣都会是。（确认，底下提到的即是在的基础上，将改为后得到的偏好组合。）

引理1：若，则。

讲解：匹配斥逐对于偏好组合是踏实的（也即是说，），因为，而且将改为并不会有变成不踏实的可能。因此，在偏好组合下对于是“可能的”（界说参见定理2讲解）。由于凭据，是最可爱的匹配对象，故这对于来说是对于偏好组合的最佳的匹配斥逐。但定理2标明对于每个男东谈主来说都是对于偏好组合的最佳的匹配斥逐，因此。

于是，引理1讲解了，咱们在讲解定理5的技巧，只需要讲解任何简便伪报（也即是说，只在求婚机制的第一轮专门选拔向求婚）都不是顺利的。下列引理标明，如果的伪报不错使他至少和在原本的匹配斥逐下一样好，那么莫得男东谈主会因为他的伪报受损，也即是说，每个男东谈主都认为伪报变成的匹配斥逐至少和原本的斥一一样好。

引理2：要是一个简便伪报，使得、且或缔造，则对于中的每个，或缔造。

讲解：假定论断不缔造，即对于中的某个缔造，即在斥逐下比斥逐下更倒霉。由于除了除外通盘东谈主宣称的偏好在和中是一样的，一定在机制下的某一轮被遣散了。令示意在机制下，第一次有某个被遣散的轮数。于是，在机制的第轮一定收到了某个的求婚，但他在机制下不会向她求婚，而且高慢，即认为这个男东谈主比更好。在机制下莫得向求婚，意味着，因此在机制下一定在第轮之前就也曾被遣散了，这与是第一次有某个被遣散的轮数的假定相矛盾。因此，莫得哪个在机制下被遣散，得证。

底下咱们看重讲解定理5，即讲解莫得男东谈主在（由男东谈主进行求婚的）叠加求婚机制下能终了顺利的伪报。

定理5讲解：令，且假定叠加求婚机制进行轮即可终了斥逐，即机制在第轮斥逐。令示意某个男东谈主领受简便伪报后的偏好组合，对应的匹配斥逐为。底下咱们讲解这个伪报不是顺利的：咱们先假定或缔造，然后讲解唯有后者有可能发生。也即是说，如果伪报不会使伪报者受损，那么这样作念也不会让他获益。

对于中的任性一个男东谈主，咱们称在机制下的“第轮匹配顺利”，若在第轮的求婚对象即是他最终的伴侣。留心，每个都只会匹配顺利一次。

底下咱们讲解，若在机制下的第轮匹配顺利，则。这是因为第轮是的终末一轮，故是在机制下独一一个向求婚的东谈主（否则接下来还会进行第轮）。由引理2可知，莫得男东谈主会在斥逐下比斥逐更差，因此任何鄙人莫得向求过婚的男东谈主，都不会鄙人向求婚。因此在机制下，依然唯有会向求婚（因为至少会收到一次求婚），因此。这个论断对于任何高慢在机制下只收到过一次求婚的男东谈主都缔造，不管他在第几轮匹配顺利。因此，如果在机制下的第轮匹配顺利、或是他在机制下的匹配对象莫得收到过其他东谈主的求婚，那么他的伪报不可能是顺利的，得证。

接着，咱们假定在机制下的第轮匹配顺利，其中。咱们用归纳法讲解对于每个在第轮或之后匹配顺利的男东谈主（包括我方），齐有。

令示意机制的某一轮，高慢。咱们也曾讲解了这个论断对于在第轮匹配顺利的是缔造的。归纳部分的讲解内容是，若对于每个在机制的第轮至第轮之间匹配顺利的男东谈主都缔造，那么对于每个在机制的第轮匹配顺利的男东谈主也缔造。

令为在机制下的第轮匹配顺利的一个男东谈主。令示意在机制下被遣散过的通盘男东谈主的集结、即、亦即通盘认为比我方最终的伴侣更好的男东谈主组成的集结。若为空，则凭据上头的讲解可得。如否则，令为集结中的、高慢对于其他通盘都缔造的男东谈主——也即是说，是在机制中遣散的通盘男东谈主中、她认为最佳的那一个。

于是，在机制的第轮之后才会匹配顺利，因为他至少在第轮时才被遣散。因此由归纳假定可得。

由于不是伪报者（即），故在机制下也会向求婚，而且会被遣散。但是，由于通盘在机制下莫得向求过婚的男东谈主在机制下也都不会向她求婚，因此遣散是因为她认为比他更好，故。因此，对于每个在第轮或之后配对顺利的男东谈主都缔造。迥殊地，，即他的伪报不可能是顺利的，得证。

终末为了讲解推论1，咱们只需留心到，由于叠加求婚机制是让男东谈主求婚、让女东谈主选拔接纳或遣散求婚，因此一个女东谈主的伪报体式只然而在某些轮遣散一个她更可爱的男东谈主、将另一个向她求婚的东谈主放入待定位。尽管定理3标明这样作念大概能让她终末的匹配斥逐更好，但确认如果某个女东谈主在某一轮被我方最可爱的男东谈主求婚，那么她的最优选拔一定是接纳他，从而得证。

请留心，定理5超过讲解并莫得撤消这样一种可能：某一个在伪报之前匹配顺利的男东谈主能从他的伪报中获益，尽管这样作念并不行让我方获益。底下这个例子讲解了这个可能性。令，他们的偏好是

于是。如果将我方的偏好伪报为，那么

这使得匹配斥逐对于来说不比更差，但和能从中获益。

定理5的另一个推论如下；它将对男东谈主最佳的踏实斥逐、与通盘可行的（不管是否踏实）斥逐进行了对比。

定理6：相对于斥逐，不存在被中的通盘男东谈主都严格偏好的可行斥逐。

咱们也曾知谈，不存在相对于被通盘男东谈主严格偏好的踏实斥逐：定理2就讲解了这少量。定理6的真谛是，执行上对男东谈主们来说照旧弱帕累托最优的。但是，上头的斥逐也曾标明它不一定是强帕累托最优的。

定理6讲解：感谢David Gale帮我指出，咱们只需不雅察到（凭据定理5的讲解）若在机制的终末一轮匹配顺利，那么在机制下只收到过一次求婚。因此，如果有另一个斥逐使得在该斥逐下比更好（即），那么一定有另一个男东谈主在斥逐下与匹配。然而，既然在机制下莫得向求婚，这就讲解认为比更好，从而得证。

辘集定理3、定理5与推论1，咱们不错了解在职何踏实的匹配机制中，咱们能保证有若干东谈主不会伪报偏好。定理3讲解了，咱们不可能让通盘东谈主都不肯意伪报偏好，但定理5标明，至少有一方东谈主不会伪报偏好，而推论1讲解另一方东谈主的伪报动机亦然有适度的。事实上，定理5超过推论揣测的机制还不错让咱们更进一步，由下列论断给出。

定理7：令。不存在一个踏实的匹配机制，使得每个东谈主都莫得伪报我方第选拔的动机。

讲解：该论断由定理3的讲解可证，对于任性的1' data-formula-type='inline-equation'>，咱们都能构造一个例子，使得其中一方东谈主舒适伪报我方的第选拔。

第三、四、六节的定理标明，对于匹配问题，咱们不错对可能的匹配斥逐、以及终了某个斥逐的匹配机制下一些很强的论断。比如说，让咱们斟酌学生与学校之间的匹配问题，将一群学生匹配给不同的学校入学。

定理1标明踏实斥逐的集结黑白空的，因此只消咱们知谈学生对于学校、以及学校对于学生的偏好，那么咱们总能找到一个匹配形状，使得学校有动机招收匹配的学生、学生也有动机去匹配的学校入学，而且不存在一个对相互更好的匹配形状。而且，定理2标明踏实斥逐的集结能够体现学生或学校的共同利益。令东谈主惊诧的是，这里尽然存在所谓的“共同利益”，毕竟这个问题的内容即是学生之间相互竞争（被粗造偏好的）最佳学校的入学经历、学校之间相互竞争经受最佳的学生。但当咱们矜恤踏实斥逐的集结时，竞争与利益突破不复存在，通盘学生都有着终了“学生最优的”踏实斥逐的共同利益，而通盘学校都有着终了“学校最优的”踏实斥逐的共同利益。定理6标明，这个“共同利益”与踏实性的要求并不突破，也即是说，即使咱们不要求匹配斥逐是踏实的，学生们也无法找到一个让通盘东谈主都比在“学生最优的”踏实斥逐下更好的匹配斥逐。

在第四节，咱们剔除了通盘偏好已知的假定，但问题的结构是近似的。尽管定理3标明，此时咱们无法找到一个让通盘东谈主都不会伪报偏好的踏实匹配机制，但是定理5标明，咱们至少能保证匹配的其中一方不会这样作念。这个斥逐标明，对于个东谈主与机构之间（诸如学生与学校）的匹配问题，咱们能够在很猛进度上幸免伪报偏好带来的曲解。

迥殊地，假定匹配机制产生的是“学生最优的”踏实匹配斥逐，于是学生莫得伪报偏好的动机。既然确乎清晰偏好是每个学生的占优政策，曲解的独一着手即是学校的偏好。但是，学校的偏好（机构的偏好）一般要比学生的偏好（个东谈主的偏好）更老例，因此学校伪报偏好的进度较轻。比如说，学校的偏好会受到扬弃种族敌对的法律法例的影响。这些法律法例能够实施的前提是，学校的偏好是不错被检视的（举例，通过诉讼），咱们能够可靠地差异学校“正当的”偏好与敌对性的偏好。而且，既然学校会将学生按照一些客不雅措施（如收获）排行，于是学校可能从伪报偏好中获益的契机就更少了。

Source: Roth幸运快艇捕鱼, Alvin E. 'The economics of matching: Stability and incentives.' Mathematics of operations research 7.4 (1982): 617-628.